Semistability of Frobenius Direct Images

— Let X be a smooth projective curve of genus g ≥ 2 defined over an algebraically closed field k of characteristic p > 0. Given a semistable vector bundle E over X, we show that its direct image F∗E under the Frobenius map F of X is again semistable. We deduce a numerical characterization of the stable rank-p vector bundles F∗L, where L is a line bundle over X. Résumé (Semi-stabilité des images directes par Frobenius sur les courbes) Soit X une courbe projective lisse de genre ≥ 2 définie sur un corps k algébriquement clos de caractéristique p > 0. Étant donné un fibré vectoriel semi-stable E sur X, nous montrons que l’image directe F∗E par le morphisme de Frobenius F de X est aussi semi-stable. Nous déduisons une caractérisation numérique du fibré vectoriel stable F∗L de rang p, où L est un fibré en droites sur X.